Please install and enable Core Design Scriptegrator plugin.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Értkékelés 0.00 (0 szavazat)

\({\int {u\left( x \right) \cdot {v^|}\left( x \right)dx = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right) - \int {{u^|}\left( x \right) \cdot v\left( x \right)dx} } }\)

Ezek teljesen egyenértékűek, mi most az elsőt használjuk:

\[\begin{array}{l}\int {f\left( x \right) \cdot {g^|}\left( x \right)dx}  = f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - \int {{f^|}\left( x \right) \cdot g\left( x \right)dx} \\\int {{f^|}\left( x \right) \cdot g\left( x \right)dx}  = f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - \int {f\left( x \right) \cdot {g^|}\left( x \right)dx} \end{array}\]

Alapvetően 3 különböző típusra használjuk a parciális integrálást és ez dönti el, hogy a szorzat melyik tagja lesz az „u(x)” és melyik tagja lesz a „v’(x)” (mert nem mindig sorrendben van a kiválasztás)

I. eset: polinom * cos/sin/e/a függvénnyel

\[\int {\overbrace {\left( {54{x^{10}} - 3{x^4} + 32} \right)}^{u\left( x \right)} \cdot \overbrace {\cos 4x}^{v'\left( x \right)}}  \cdot dx\]

Polinomnak nevezzük azokat a kifejezéseket, ahol csak "x" hatványai szerepelnek. Ezek meg lehetnek szorozva számmal, végül ezeket összeadjuk (u(x)) tag. A logika itt az, hogy a parciális integrálás képlet másik oldalán lévő integrál egyszerűbb legyen. Amennyiben a polinomot választjuk meg u(x)-nek akkor a másik oldalon lévő integrálban ennek a deriváltja fog már szerepelni. A polinom deriválása során pedig a polinom fokszáma csökken (azaz kisebb hatványon lesz mindig eggyel), emiatt pedig egy idő utána a polinom sima számmá fog változni, azt pedig már sokkal egyszerűbb integrálni.

Tehát a lényeg, az I. esetben az u(x) = POLINOM és a v'(x) = sin/cos/e/a-s függvény

II. eset: polinom * log/ln/bármilyen arc-os függvény

\[\int {\overbrace {\left( {54{x^{10}} - 3{x^4} + 32} \right)}^{v'\left( x \right)} \cdot \overbrace {arc\cos \left( {4x - 77} \right)}^{u\left( x \right)}}  \cdot dx\]

Itt a különbség, hogy a második szorzó logaritmus vagy arc-os függvény. Amennyiben itt az I. képlet alapján választanánk meg a u(x) és v'(x)-t, azaz azt mondanák, hogy a v'(x) legyen a logaritmusos tag, akkor azt vennénk észre, hogy a képlet jobb oldalán lévő integrálvan a v(x) kiszámításánál egy logariutmust kéne integrálni. Ehhez pedig nincs képlet! Emiatt választjuk meg fordítva ebben az esetben a tagokat!

III. eset: ebben az esetben mindegy, hogy melyik tagot minek választjuk.

\(\int {\underbrace {{e^{4x + 2}}}_{\left( \begin{array}{c}\cos \left( {ax + b} \right)\\vagy\\\sin \left( {ax + b} \right)\\vagy\\{e^{ax + b}}\\vagy\\{a^x}\end{array} \right)} \cdot \underbrace {\cos \left( {7x - 25} \right)}_{\left( \begin{array}{c}\cos \left( {ax + b} \right)\\vagy\\\sin \left( {ax + b} \right)\\vagy\\{e^{ax + b}}\\vagy\\{a^x}\end{array} \right)} \cdot dx} \)

Lépések:

  1. kétszer egymás után parciálisan integrálni
  2. a második integrálás folyamán visszakapjuk az eredeti integrált
  3. a kapott eredményt egyenlővé tesszük az eredeti integrállal és ebből az egyenletből az eredeti integrált kifejezzük

Hasonló feladatokat itt találsz: Parciális integrálás

Rólunk

Czibik Gábor vagyok, ennek az oldalnak az ötletgazdája és létrehozója. Mondhatjuk, hogy "matematikus" családból származok, hisz nagyapámtól kezdve szüleimen keresztül mindenki matematika tanár :)

Kattints ide a folytatáshoz...

Prémium megoldások

A Prémium megoldásokat az itt megvásárolt érmécskék felhasználásával tudod megtekinteni. A feladat nehézségétől függően kell 1,2..7 érmécskét felhasználnod a megtekintéshez.

Kattints ide a folytatáshoz...

Megoldások típusai

Az oldalon lévő összes feladathoz részletesen levezetett megoldás tartozik. A megoldások (megtekinthetőség szempontjából) három típusba sorolhatóak:

Kattints ide a folytatáshoz...

Történetünk

2006. ősz: Az első lépés: czibik.hu

Első weboldalam, azért hoztam létre, hogy tanítványaimank könnyen elérhetővé tegyem egy helyen a máshol szétszórtan amúgy is fellelhető képletgyűjteményeket, feladatsorokat és megoldásokat.

Kattints ide a folytatáshoz...